Devadesát let nekonečného ráje (komentář k teorii množin), část I

Na přednášce, která se konala před 90. lety, 4. června 1925, složil přední matematik David Hilbert výjimečnou poklonu svému kolegovi, který je právem považován za jednoho z otců teorie nekonečných množin: 

"Nikdo nás nevyžene z ráje, který pro nás vytvořil Georg Cantor." My se o to - se vší úctou k velikánům minulosti - pokusíme.

Nejprve však bude záhodno proniknout alespoň do základních tajů teorie množin a potažmo transfinitní algebry.

Porovnávání množin

                Chceme-li porovnat počty prvků dvou množin, začneme prvky obou množin řadit k sobě, vždy jeden prvek z každé množiny, a dvojice vytváříme tak dlouho, dokud nevyčerpáme prvky jedné množiny. Pokud ve druhé množině ještě nějaké prvky zbudou, je tato druhá množina větší, pokud ne, jsou obě množiny stejně velké. To je vcelku triviální.

                Poněkud komplikovanější je situace, máme-li dvě nekonečné množiny. U nich není možné mechanicky provádět párování prvků, proto byla zavedena tzv. mohutnost. Jedná se o veličinu, která umožňuje porovnávat nekonečné množiny. Mají-li dvě nekonečné množiny stejnou mohutnost, vyplývá z toho, že existuje jednoznačné zobrazení všech prvků jedné množiny na všechny prvky druhé množiny.

                Pravděpodobně nejslavnějším příkladem pro "základní" nekonečno, tedy mohutnost ? 0 (alef nula) je tzv. Hilbertův hotel (ano, jmenuje se podle matematika Davida Hilberta). Je to zvláštní hotel, protože má nekonečné množství pokojů, a jelikož je to vyhlášený hotel, jsou všechny pokoje obsazené. Vtom se na recepci se objeví host, který by chtěl ubytovat. Recepční proto požádá všechny hosty, aby se přesunuli, a to následujícím způsobem: host z pokoje č. 1 do pokoje č. 2, host z pokoje č. 2 do pokoje č. 3, a tak dále analogicky až do nekonečna, takže recepční může hosta bez problémů ubytovat navzdory tomu, že hotel byl plně obsazen. Když přijde milion hostů, může recepční učinit totéž: hosta z pokoje 1 přesune do pokoje 1.000.000+1, hosta z pokoje 2 do pokoje 1.000.000+2, atd., takže bez problémů může ubytovat i milion hostů.

                Jednoho obzvláště pěkného dne, o němž v otřepaném vtipu Pepíček praví, že dneska by to šlo, však k hotelu dorazí nekonečně mnoho hostů a samozřejmě všichni chtějí ubytovat. Recepční se zamyslí, ale sám to nezvládne, tak si zavolá ředitele, co má jako dělat, a protože ředitel hotelu shodou okolností utrpěl vyšší vzdělání, poradí recepčnímu, ať každého hosta přesune z jeho pokoje do pokoje, jehož číslo je dvakrát větší: hosta z pokoje č. 1 do pokoje č. 2, hosta z pokoje č. 2 do pokoje č. 4, hosta z pokoje č. 3 do pokoje č. 6, a tak dále. Tím budou stávajícími hosty obsazeny pouze sudé pokoje, a jelikož lichých pokojů je taky nekonečno, může recepční bez problémů ubytovat celé nekonečno nově příchozích hostů.

                Uvedený příběh nám ve stručnosti sděluje následující: přičteme-li k nekonečnu libovolné konečné číslo, dostaneme nekonečno. Vynásobíme-li nekonečno konečným kladným číslem, opět dostaneme nekonečno. Jinými slovy, že ?+n=? pro libovolné konečné n, a že ?.n=? pro libovolné kladné konečné n.

                Mohutností ? 0 se označuje množina všech přirozených čísel. Množiny, které mají stejnou mohutnost jako množina přirozených čísel, se nazývají spočetné. Patří sem například následující množiny: sudých přirozených čísel, prvočísel, racionálních čísel, algebraických čísel, či dokonce množina všech konečných podmnožin přirozených čísel. Stručně řečeno, existuje například jednoznačné zobrazení, které umožňuje jednoznačně očíslovat všechny zlomky řadou přirozených čísel. Daný výsledek se zdá odporovat zdravému rozumu, neboť mezi dvěma po sobě následujícími čísly (například mezi 1 a 2) existuje nekonečné množství zlomků, takže člověk má intuitivní pocit, že řada přirozených čísel bude sotva stačit na očíslování zlomků mezi 1 a 2, nicméně následující obrázek jasně ukazuje, že existuje jednoznačné přiřazení libovolného zlomku přirozenému číslu. 

                Z obrázku je zřejmé, že existuje metoda na sestrojení tabulky všech zlomků a že existuje cesta, která každý zlomek počítá právě jednou a žádný nevynechá. Abychom žádný zlomek nezapočítávali vícekrát (např. 1/1, 2/2, 3/3,... jsou pouze různá vyjádření téhož zlomku, stejně jako např. 6/14, 9/21, 12/28 atd. jsou jen různými vyjádřeními zlomku 3/7), zvýraznili jsme červeným puntíkem ty zlomky, které budeme na naší tenké červené linii postupně přiřazovat přirozeným číslům: číslu 1 zlomek 1/1, číslu 2 zlomek 1/2, číslu 3 zlomek 2/1, číslu 4 zlomek 3/1, a tak dále (bystrý čtenář jistě postřehl, že započítáváme pouze ty zlomky, jejichž čitatel a jmenovatel jsou nesoudělné). 

Kolik je nekonečen?

                Mohlo by se zdát, že na množinu přirozených čísel lze mapovat libovolnou nekonečnou množinu, ale Georg Cantor roku 1874 ukázal, že existují i nekonečna, která mají větší mohutnost než množina přirozených čísel, a pro celou tuto transfinitní matematiku dokonce vytvořil elegantní a srozumitelnou algebru (její eleganci laik nejspíš nedocení, ale množinoví matematikové znají památná Hilbertova slova o vyhnání z ráje nazpaměť, a kdykoliv jsou připraveni je laikovi zopakovat coby nepřímý důkaz faktu, že se skutečně jedná o matematicky nesmírně krásnou strukturu). Nás ani tak nebude zajímat transfinitní algebra, neboť ta vznikla až jako nadstavba objevu, že existují i nekonečna s větší mohutností, než má množina přirozených čísel. Nás bude zajímat, jakým způsobem došel Cantor k tomu, že existují i větší mohutnosti nekonečen.

                Georg Cantor dokázal větu (dnes právem pojmenovanou po něm), která (zjednodušeně řečeno) tvrdí, že množina všech podmnožin dané množiny obsahuje více prvků než původní množina. Pro konečné množiny je to zřejmé: například pro tři prvky existuje osm podmnožin (prázdná, 3 podmnožiny po jednom prvku A, B, C, 3 podmnožiny po dvou prvcích - AB, BC, CA - a 1 podmnožina po 3 prvcích). Vzhledem k tomu, že věta platí i pro nekonečné množiny, získáváme obdivuhodný výsledek - množina všech (tzn. konečných i nekonečných) podmnožin dané nekonečné množiny je větší než povodní nekonečná množina. Jinými slovy, existují různě velká nekonečna. A nebo ještě závratněji: existuje způsob, jak z libovolně velkého nekonečna vytvořit nekonečno, které je ještě větší.

Cantorova diagonální metoda

                Historie matematiky nám dala mnoho různých typů důkazů. Indukcí, dedukcí, sporem, ... Georg Cantor sice ve finále dokazoval svou větu sporem, ovšem způsob, jakým se k němu dostal, je nadmíru elegantní a právem patří ke zlotému fondu dějin matematiky. Na této diagonální metodě stojí Russellův paradox, Gödelova věta o neúplnosti, či problém rozhodnutelnosti; jedná se tedy o metodu, která byla použita k dosažení veledůležitých matematických poznatků a závěrů.

                Existuje celá řada vzájemně naprosto ekvivalentních variant tohoto diagonálního důkazu. Kvůli srozumitelnosti důkazu použijeme takovou jeho variantu, v níž množinu všech reálných čísel nahradíme intervalem  [0,1]. Nejprve ukážeme, že existuje jednoznačné zobrazení intervalu  [0,1] na interval  [-?,+?]. 

                To, co v našem důkazu zjistíme pro interval [0,1] tak zákonitě bude platit pro celou reálnou osu, tedy množinu všech reálných čísel.Cantor předpokládal, že interval [0,1] je spočetně nekonečný, což znamená, že v principu existuje posloupnost všech čísel z tohoto intervalu, kterou jde jednoznačně přiřadit množině přirozených čísel. V našem nekonečném seznamu čísel z intervalu [0,1] (a pořadí těchto čísel nemá na metodu důkazu vliv) tedy předpokládáme existenci všech myslitelných desetinných rozvojů. Cantor ukázal, že navzdory předpokladu, že náš seznam čísel je úplný (tedy že všechna reálná čísla lze jednoznačně zobrazit na množinu přirozených čísel), lze sestrojit číslo, které se od všech čísel v seznamu liší, a tudíž že náš seznam kompletní není. Jinými slovy, na intervalu [0,1] existuje více čísel, než jich máme k dispozici v nekonečném seznamu přirozených čísel. Závěr je zřejmý, musí existovat větší nekonečno než nekonečno přirozených čísel. 

                Z obrázku je zřejmé, že vytvoříme-li v našem nekonečném seznamu "diagonální číslo" (z prvního čísla seznamu vezmeme první číslici, z druhého čísla seznamu druhou číslici, atd., a toto číslo pozměníme tak, že ke každé číslici přičteme jedničku, pak toto nové diagonální číslo se od prvního čísla seznamu liší v první číslici, od druhého čísla v seznamu ve druhé číslici, a obecně ode všech čísel v seznamu: od N-tého vždy v N-té číslici. Předpokládali jsme, že náš seznam je úplný, ale podařilo se nám vytvořit číslo, které v něm není. Náš předpoklad, že množinu všech čísel z intervalu [0,1] lze jednoznačně přiřadit množině přirozených čísel, byl tedy vyvrácen, a proto musí existovat množina větší, než je nekonečná množina všech přirozených čísel.  

Transfinitní algebra

                Ačkoliv jsme říkali, že pravidla transfinitní algebry jsou až sekundární, neboť v našem výkladu jde v první řadě o samotnou diskusi, zda skutečně existují různě velká nekonečna, přeci jen se u ní na chvíli zastavíme, a to především pro ilustraci.

                V algebře přirozených čísel je vytvoření většího čísla snadné: k libovolně velkému konečnému číslu N přičteme číslo 1. Snadno ověříme, že pro libovolné N platí, že N+1>N. Tato jednoduchá analogie v nekonečnu neplatí, neboť jsme již výše uvedli, že ?+1=?. Nebudeme zde rozebírat, proč je množina všech podmnožin nekonečné množiny větší než původní množina, ale na jednoduchém schématu si ukážeme, jakou matematickou operací z daného nekonečna vyrobíme nekonečno větší: 

                Množina o N prvcích má podmnožiny tvořené z 0-1-2-3-...-(N-1)-N prvků. Pro 0 prvků existuje 1 podmnožina (prázdná množina), pro 1 prvek dvě podmnožiny (jedna prázdná a jedna obsahující právě tento prvek), tedy 1-1, pro dva prvky jsou to podmnožiny 1-2-1, pro tři prvky 1-3-3-1, pro čtyři prvky 1-4-6-4-1, atd. Uvedená posloupnost tvoří Pascalův trojúhelník! Navíc, když jednotlivé kombinace pro dané N sečteme, dostaneme počet všech kombinací pro dané N: N=0: 1 kombinace › 20; N=1: 1-1 › 21, N=2: 1-2-1 › 22, N=3: 1-3-3-1 › 23, obecně množina o N prvcích má 2N podmnožin. Z faktu, že množina všech podmnožin dané množiny je mohutnější než původní množina, můžeme snadno odvodit způsob, jak ze spočetného nekonečna odvodit nekonečno větší: označíme-li spočetnou množinu všech přirozených čísel ? 0, pak větší nekonečno obdržíme umocněním čísla 2 na toto nekonečno.  2? 0  je větší (má větší mohutnost) než množina o mohutnosti ? 0, a tedy že množina reálných čísel je větší než množina přirozených čísel. 

                Nyní už začíná být zřejmé, proč David Hilbert označil Cantorovu transfinitní algebru rájem - jedná se o závratně krásnou matematickou strukturu plnou jednoduché a překvapivé elegance.

                Dosud jsme neřekli nic nového, pouze jsme se pokusili pokud možno co nejsrozumitelnějším způsobem přiblížit některé méně samozřejmé vlastnosti nekonečen. Tento stručný historický exkurz nám usnadní vlastní práci, jejímž cílem není nic menšího, než celou tuto rajskou katedrálu srovnat se zemí. Tuto herezi si však necháme až na příště. 

Dominik Herzán